Laqranj funksiyası haqqında

Təəccüblü olsa da, Laqranj funksiyasının umumi qurulma qaydası yoxdur. Sadəcə əgər istəyiriksə ki, bizim təsvir etdiyimiz sistem müəyyən simmetriyaya malik olsun (hərəkət tənliyi — Laqranj-Eyler tənliyi bu simmetriyaya nəzərən invariant qalsın) , onda həmin sistemin Laqranj funksiyasını bu qrupa (simmetriyaya) görə invariant seçməliyik.

Xüsusi nisbilik nəzəriyyəsində simmetriya qrupu Lorens qrupudur. Məsələn, sərbəst maddi nöqtə üçün təsiri aşağıdakı kimi yazmaq olar (ds – intervaldır):

Elektromaqnit sahəsi üçün Laqranj funksiyası:

Sərbəst skalyar sahə üçün:

Qeyd etdiyim bütün hallarda Laqranj funksiyası Lorens qrupuna nəzərən invariantdır. Fəza çevrilmələrinə nəzərən invariant Laqranj funksiyası da yazmaq olar, məsələn, Lifşiç skalyar sahəsi üçün Laqranj funksiyası:

Məktəblər, workshop’lar…

Nesin Matematik köyündə 18-31 yanvar tarixlərində “Sayılar kuramı çalıştayı” olacaq. Daha ətraflı burada.

Daha iki maraqlı araşdırma məktəbi :

Topics in noncommutative geometry

Geometric Langlands and Gauge Theory

 

Bir sərbəstlik dərəcəsi olan sistem

Bu yazı “Nəzəri fizikadan kurs-intensiv”in klassik mexanika hissəsinə kiçik bir əlavədir. Həmçinin bax:  sıfırıncı yazı, birinci yazı və bura.

Teorem: Bir sərbəstlik dərəcəsi olan sistemdə tam enerji hərəkət inteqralıdır.

Bir sərbəstlik dərəcəsi olan sistem:

differensial tənliyi ilə xarakterizə olunan sistemdir.

Hərəkət inteqralı: saxlanan kəmiyyətə deyilir. Nöter teoreminə görə sistemin hər bir simmetriyasına bir hərəkət inteqralı uyğun gəlir. Hamilton funksiyası ilə hər hansı bir kəmiyyətin Puasson mötərizəsi sıfırdırsa, həmin kəmiyyət hərəkət inteqralıdır.

Teoremi isbat edək:

burada T-kinetik enerji, U-potensial enerjidir.

Göstərək ki,

Daha ətraflı bax : Арнольд В.И. Математические методы классической механики, 1989

İnersial hesablama sistemi haqqında

Nyuton formalizmində inersial hesablama sistemləri Nyutonun birinci qanunu vasitəsilə daxil edilir: Elə müşahidəçilər var ki, onlar sistemi ya sükunətdə, ya da bərabərsürətli hərəkətdə görür. Belə sistemlərə Nyuton inersial hesablama sistemləri deyir. Bu yazıda isə inersial sistemlərə nəzəri fizika baxımından tərif verəcəyik.

Fəzanın bircins, izotrop və zamanın bircins olduğu sistem inersial hesablama sistemi adlanır.

(Fəzanın bircinsliyi): bütün nöqtələri eynihüquqlu olan fəzadır, başqa sözlə belə fəzanın ixtiyari nöqtəsində fiziki hadisələr eyni cür baş verir.

(Fəzanın izotropluğu): bütün istiqamətlərdə eynihüquqlu olan fəzadır, başqa sözlə belə fəzanın ixtiyari istiqamətində fiziki hadisələr eyni cür baş verir.

(Zamanın bircinsliyi): İxtiyari zaman anlarında (intervallarında) zamanın eyni cür axmasıdır.

Aydındır ki, inersial hesablama sistemində maddi nöqtənin Laqranj funksiyası (bax bura və bura )nöqtənin radius vektorundan (fəzanın bircinsliyinə görə) və zamandan (zamanın bircinsliyinə görə) asılı deyil. Fəzanın izotropluğundan isə Laqranj funksiyasının sürətin istiqamərindən deyil, yalnız mütləq qiymətindən asılı olduğunu alırıq:

Galua teoremi

Galua (Qalua oxunur) meydanı sonlu ünsürdən ibarət meydandır. Galua meydanına nümunə olaraq (ən sadə)

(p-sadə ədəddir) göstərmək olar.

Məsələn, p=2  olduqda alırıq ki,

0+0=0,     0+1=1+0=1,     1+1=0

0*0=0*1=1*0=0,    1*1=1     olur.

4-ə bölmədən alınan qalıqlardan meydan əmələ gəlmir, 2-nin əksi olmadığı üçün. Buna baxmayaraq 4 elementdən (ünsürdən) ibarət qrup vardır.

Təbii sual meydana  çıxır: “görəsən ixtiyari sonlu element sayından ibarət meydan varmı?”

Bu suala Galua teoremi cavab verir:

Sonlu meydanın elementlərinin sayı ixtiyari deyil, p^n sayda ola bilər (burada p-sadə ədəd, n-natural ədəddir).

Yəni, 2, 3,4,5,7,8,9,11, ….,

Kvant nöqtələri

Doğrusu məni maraqlandıran obyekt – kvant nöqtələrindən hazırlanmış Kantor və Fibonaççi aperiodik ardıcıllıqlarıdır.  Yerimədən qaçmağa çalışmayaq, kvant nöqtələri haqqında bir neçə kəlmə.

Kvant nöqtəsi hər üç fəza ölçüsünə görə məhdud, elektron daşıyan yarımkeçirici hissəsidir. Kvant nöqtəsi kifayət qədər kiçik olmalıdır ki, kvant effektləri özünü göstərsin. Bunun üçün enerji səviyyələri arasındakı fərq kinetik enerjidən yetərincə böyük olmalıdır:

d-kvant nöqtəsinin ölçüsüdür. Bir az ətraflı burada.

Kvant nöqtələri nisbətən yeni araşdırma sahəsi olmasına baxmayaraq (təxminən 20 ildir), fizikanın

- tunnel effekti
- optika
- elektron strukturu
- mezoskopiya
- Kondo fizikası kimi sahələrini əhatə edir.

Hal-hazırda alınan kvant nöqtələri kifayət qədər mürəkkəb enerji spektrinə malikdir (çoxzonalı Hamilton funksiyası ilə təsvir olunur). Bununla belə çox böyük olmayan (onlarla nanometr) kvant nöqtələrində parabolik potensialdan istifadə edib, enerji səviyyələrini almaq olar.  Məsələnin belə qoyuluşu kvant ossilyatorunun tənliyini verir ki, onun da dəqiq həlli məlumdur:

İkiölçülü hal üçün də eyni qayda ilə həll etmək olar. Parabolik potensialda kvant nöqtələrinə daha ətraflı

Н.Е. Капуткина, Ю.Е. Лозовик, ФТП 40, 11 (1998)

Н.Е. Капуткина, Ю.Е. Лозовик, ФТП 40, 11 (1998)

Weiming Que Phys. Rev. B45, 19, 11037 (1992)

T. Demel, D. Heitmann, P. Grambow, K. Ploog. Phys. Rev.Lett. 64, 7, 788 (1990)

baxmaq olar.