Galua teoremi

Galua (Qalua oxunur) meydanı sonlu ünsürdən ibarət meydandır. Galua meydanına nümunə olaraq (ən sadə)

(p-sadə ədəddir) göstərmək olar.

Məsələn, p=2  olduqda alırıq ki,

0+0=0,     0+1=1+0=1,     1+1=0

0*0=0*1=1*0=0,    1*1=1     olur.

4-ə bölmədən alınan qalıqlardan meydan əmələ gəlmir, 2-nin əksi olmadığı üçün. Buna baxmayaraq 4 elementdən (ünsürdən) ibarət qrup vardır.

Təbii sual meydana  çıxır: “görəsən ixtiyari sonlu element sayından ibarət meydan varmı?”

Bu suala Galua teoremi cavab verir:

Sonlu meydanın elementlərinin sayı ixtiyari deyil, p^n sayda ola bilər (burada p-sadə ədəd, n-natural ədəddir).

Yəni, 2, 3,4,5,7,8,9,11, ….,

Hilbertin 16-cı problemi

1900-cu ildə riyaziyyatçıların ilk beynəlxaql konqreslərindən birində Hilbert 23 həllini tapmamış məsələni ortaya qoydu.  O vaxtdan bu 23 məsələni Hilbert problemləri adlandırırlar.

Hilbertin çıxışının orijinalı və rus dilinə tərcüməsi (tam deyil).  Həmçinin Bolibruxun kitabcasına da baxmaq olar.

Bir əsrdən çox keçməsinə baxmayaraq Hilbert problemlərinin heç də hamısı həllini tapmayıb (bax: burada və burada).

İlk baxışda bütün bu məsələlər sırf riyazi xarakter daşığı görünsə də, məsələlərin həlli fizika ya da böyük tövhələr verib və verə bilər. Məsələn, bir zamanlar membranlarda faza keçidinin nəzəri izahını vermək üçün sistemin entropiyasını hesablayıb ən sıx yığma üçün entropiyanın minimal olduğunu göstərməli idim, bu isə birbaşa Hilbertin 18-ci problemi ilə əlaqədardır.

Maraqlıdır ki, əksər problemlər çox bəsit şəkildə formulə olunduğu  və riyaziyyatçı belə olmayanlara anlaşıldığı halda, ya çox ağır həll olunur, ya da hələ də həllini tapmayıb.  Hilbertin 16-ci problemi də belələrindəndir.

Tutaq ki, f – iki dəyişənli (x və y) n -dərəcəli çoxhədlidir, həqiqi əmsalları ilə.  Hilbert problemi evklid müstəvisində

f(x,y)=0

tənliyi ilə verilmiş cəbri əyrinin hansı topoloji quruluşa malik olduğunu araşdırmaqdan ibarətdir. Məsələn, n=1 olarsa, bu təblik düz xətti verir. n=2 olarsa, cavab çevrə, hiperbola və ya paraboladır.

16-ci problem həllini tapmasa da, bu yolda çoxlu işlər görülüb. Görülmüş işləri isə növbəti yazılarda fiziki məsələlərin üzərində nəzərdən keçirəcəm.

Sadə ədədlər haqqında teorem

Sadə ədədlərin sonsuz sayda olduğu haqda teorem var, elə bu cür də səslənir:

Teorem. Sadə ədədlər sonsuz qədərdir.

Bu teoremi isabt edək. Tutaq ki, biz sonlu sayda sadə ədəd bilirik.

2, 3, … , p

Əgər elə q sadə ədədi tapsaq ki, bizim çoxluğa aid deyil, onda göstərmiş olarıq ki, sadə ədədlər sonsuz saydadır.

N=(2*3*5*…*p)+1

ədədinə baxaq. Əgər N sadədirsə, onda N>p olduğundan biz yeni sadə ədəd tapmış oluruq və teorem isbat olunur. Yox əgər N sadə deyilsə, onu sadə vuruqlara ayırmağa başlayaq. Onda aydındır ki, nəticədə həmin sadə vuruqların içində elə q sadə ədədi olacaq ki, bizim çoxluğa aid deyil. Çünki N-i bizim çoxluqdan olan sadə ədədlərə böləndə qalıqda 1 verir və tam bölünmürlər. Beləliklə teorem isbat olundu.  

Xovanov homologiyaları

İlk dəfə bu terminə “The n-Category Cafe” bloqunda rast gəlmişdim.  ”What is categorification?” adlı yazı düyünlərlə bağlı olduğundan marağımı çəkdi, anladığım qədər Xovanovun yeni yaxınlaşması Vasilyev invariantlarından tam fərqli bir üsuldur və daha yaxşı nəticə verə bilər. 

Rus dilində mövzuya aid kiçicik qeydlər var: http://lj.imbg.ru/xan/lectures.PDF

Vitten hipotezi

Bu həftə Müstəqil Moskva Universitetində (NMU) “Funksional analiz” məşğələsində Kazaryan’ın “Vitten (Witten) hipotezinin cəbri-həndəsi isbatı”nı dinlədim. Demək olar heç nə başa düşmədim, düşdüklərim isə bunlardır:

Belə bir obyektlər var : Modullar fəzası (təsəvvür etmək çətindir, p.s. modul’lara aidiyyatı yoxdur) . Dörd alimin adı ilə bağlı ELSV düsturu var ki, Hurvits ədədlərinin (saylarının) bu modullar fəzasından olan çoxobrazlılıq (məlum oldu ki, əslində heç çoxobrazlılıq da deyil) ilə əlaqəsini verir. Hurvirs ədədləri haqqında yaxınlarda yazacam. Bu ELSV bərabərliyində bir sıra dəyişən dəyişiklikləri etməklə həll tapılır ki, Vitten bu həllin Korteveq-de Friz tənliyinin həlli olduğunu söyləyir. (Korteveq-de Friz tənliyi xüsusi differensiallarda olan diferensial tənlikdir, yaxınlarda bu tənlik haqqında da yazaram).

Ən maraqlısı budur ki, bu qədər fərqli obyektlər necə də əlaqəlidirlər. Yadımdadır, Arnoldun kitabının sonunda Laks cütləri üçün tənliyin Korteveqa-de Friz tənliyi ilə əlaqəli olması (eyni şeydirlər) çox qəribə gəlmişdi, bu dəfə də danışılanlar qulağa çox xoş və maraqlı gəldi, amma həzm etmək çətindir.

Maraqlananlar üçün bir neçə bağlantı: