Təəccüblü olsa da, Laqranj funksiyasının umumi qurulma qaydası yoxdur. Sadəcə əgər istəyiriksə ki, bizim təsvir etdiyimiz sistem müəyyən simmetriyaya malik olsun (hərəkət tənliyi — Laqranj-Eyler tənliyi bu simmetriyaya nəzərən invariant qalsın) , onda həmin sistemin Laqranj funksiyasını bu qrupa (simmetriyaya) görə invariant seçməliyik.

Xüsusi nisbilik nəzəriyyəsində simmetriya qrupu Lorens qrupudur. Məsələn, sərbəst maddi nöqtə üçün təsiri aşağıdakı kimi yazmaq olar (ds – intervaldır):

Elektromaqnit sahəsi üçün Laqranj funksiyası:

Sərbəst skalyar sahə üçün:

Qeyd etdiyim bütün hallarda Laqranj funksiyası Lorens qrupuna nəzərən invariantdır. Fəza çevrilmələrinə nəzərən invariant Laqranj funksiyası da yazmaq olar, məsələn, Lifşiç skalyar sahəsi üçün Laqranj funksiyası:

Nesin Matematik köyündə 18-31 yanvar tarixlərində “Sayılar kuramı çalıştayı” olacaq. Daha ətraflı burada.

Daha iki maraqlı araşdırma məktəbi :

Topics in noncommutative geometry

Geometric Langlands and Gauge Theory

Bu yazı “Nəzəri fizikadan kurs-intensiv”in klassik mexanika hissəsinə kiçik bir əlavədir. Həmçinin bax:  sıfırıncı yazı, birinci yazı və bura.

Teorem: Bir sərbəstlik dərəcəsi olan sistemdə tam enerji hərəkət inteqralıdır.

Bir sərbəstlik dərəcəsi olan sistem:

differensial tənliyi ilə xarakterizə olunan sistemdir.

Hərəkət inteqralı: saxlanan kəmiyyətə deyilir. Nöter teoreminə görə sistemin hər bir simmetriyasına bir hərəkət inteqralı uyğun gəlir. Hamilton funksiyası ilə hər hansı bir kəmiyyətin Puasson mötərizəsi sıfırdırsa, həmin kəmiyyət hərəkət inteqralıdır.

Teoremi isbat edək:

burada T-kinetik enerji, U-potensial enerjidir.

Göstərək ki,

Daha ətraflı bax : Арнольд В.И. Математические методы классической механики, 1989

Nyuton formalizmində inersial hesablama sistemləri Nyutonun birinci qanunu vasitəsilə daxil edilir: Elə müşahidəçilər var ki, onlar sistemi ya sükunətdə, ya da bərabərsürətli hərəkətdə görür. Belə sistemlərə Nyuton inersial hesablama sistemləri deyir. Bu yazıda isə inersial sistemlərə nəzəri fizika baxımından tərif verəcəyik.

Fəzanın bircins, izotrop və zamanın bircins olduğu sistem inersial hesablama sistemi adlanır.

(Fəzanın bircinsliyi): bütün nöqtələri eynihüquqlu olan fəzadır, başqa sözlə belə fəzanın ixtiyari nöqtəsində fiziki hadisələr eyni cür baş verir.

(Fəzanın izotropluğu): bütün istiqamətlərdə eynihüquqlu olan fəzadır, başqa sözlə belə fəzanın ixtiyari istiqamətində fiziki hadisələr eyni cür baş verir.

(Zamanın bircinsliyi): İxtiyari zaman anlarında (intervallarında) zamanın eyni cür axmasıdır.

Aydındır ki, inersial hesablama sistemində maddi nöqtənin Laqranj funksiyası (bax bura və bura )nöqtənin radius vektorundan (fəzanın bircinsliyinə görə) və zamandan (zamanın bircinsliyinə görə) asılı deyil. Fəzanın izotropluğundan isə Laqranj funksiyasının sürətin istiqamərindən deyil, yalnız mütləq qiymətindən asılı olduğunu alırıq:

Laqranj funksiyası r-dən asılı olmadığı üçün

Bunu Laqranj-Eyler tənliyində (bax: burada) nəzərə alsaq, alarıq ki,

Buradan  da Laqranj funksiyası yalnız v-dən asılı olduğundan,

olmalıdır.

Deməli, inersial hesablama sistemində sürət sabit qalmalıdır (!! Nyuton formalizmində məhz bu fikir əsasında inersial hesablama sisteminin tərifi verilir).

Əgər bir inersial hesablama sisteminə nəzərən digər bir hesablama sistemi bərabər (dəyişməz) sürətlə hərəkət edirsə, onda həmin sistem də inersialdır. Aydındır ki, inersial hesablama sistemlərinin sayı sonsuzdur. Deməli, mütləq bir sistem (daha doğrusu inersial sistem) yoxdur.

Galua (Qalua oxunur) meydanı sonlu ünsürdən ibarət meydandır. Galua meydanına nümunə olaraq (ən sadə)

(p-sadə ədəddir) göstərmək olar.

Məsələn, p=2  olduqda alırıq ki,

0+0=0,     0+1=1+0=1,     1+1=0

0*0=0*1=1*0=0,    1*1=1     olur.

4-ə bölmədən alınan qalıqlardan meydan əmələ gəlmir, 2-nin əksi olmadığı üçün. Buna baxmayaraq 4 elementdən (ünsürdən) ibarət qrup vardır.

Təbii sual meydana  çıxır: “görəsən ixtiyari sonlu element sayından ibarət meydan varmı?”

Bu suala Galua teoremi cavab verir:

Sonlu meydanın elementlərinin sayı ixtiyari deyil, p^n sayda ola bilər (burada p-sadə ədəd, n-natural ədəddir).

Yəni, 2, 3,4,5,7,8,9,11, ….,

Doğrusu məni maraqlandıran obyekt – kvant nöqtələrindən hazırlanmış Kantor və Fibonaççi aperiodik ardıcıllıqlarıdır.  Yerimədən qaçmağa çalışmayaq, kvant nöqtələri haqqında bir neçə kəlmə.

Kvant nöqtəsi hər üç fəza ölçüsünə görə məhdud, elektron daşıyan yarımkeçirici hissəsidir. Kvant nöqtəsi kifayət qədər kiçik olmalıdır ki, kvant effektləri özünü göstərsin. Bunun üçün enerji səviyyələri arasındakı fərq kinetik enerjidən yetərincə böyük olmalıdır:

d-kvant nöqtəsinin ölçüsüdür. Bir az ətraflı burada.

Kvant nöqtələri nisbətən yeni araşdırma sahəsi olmasına baxmayaraq (təxminən 20 ildir), fizikanın

- tunnel effekti
- optika
- elektron strukturu
- mezoskopiya
- Kondo fizikası kimi sahələrini əhatə edir.

Hal-hazırda alınan kvant nöqtələri kifayət qədər mürəkkəb enerji spektrinə malikdir (çoxzonalı Hamilton funksiyası ilə təsvir olunur). Bununla belə çox böyük olmayan (onlarla nanometr) kvant nöqtələrində parabolik potensialdan istifadə edib, enerji səviyyələrini almaq olar.  Məsələnin belə qoyuluşu kvant ossilyatorunun tənliyini verir ki, onun da dəqiq həlli məlumdur:

İkiölçülü hal üçün də eyni qayda ilə həll etmək olar. Parabolik potensialda kvant nöqtələrinə daha ətraflı

Н.Е. Капуткина, Ю.Е. Лозовик, ФТП 40, 11 (1998)

Н.Е. Капуткина, Ю.Е. Лозовик, ФТП 40, 11 (1998)

Weiming Que Phys. Rev. B45, 19, 11037 (1992)

T. Demel, D. Heitmann, P. Grambow, K. Ploog. Phys. Rev.Lett. 64, 7, 788 (1990)

baxmaq olar.

Bu yaxınlarda maraqlı və inanılmaz bir xəbərə rast gəlmişdim. Doğrusu, bu haqda yazmaq fikrində deyildim, sadəcə bloqun Haqqımda bölməsindəki söhbətdən sonra bu xəbəri yadıma salıb “işin real tərəfini” açıqlamağa çalışmışam.

Sən demə “Azərbaycan Azərbaycanın elmi-texniki tərəqqinin səviyyəsinə görə dünyada 38-ci yerdədir”. Bunu mən demirəm, bunu AMEA’nın prezidenti Mahmud Kərimov deyir və iddia edir ki, yaxın zamanlar hətta 20-ci belə ola bilərik.

Maraqlıdır ki, onun verdiyi məlumata görə Ermənistan bu göstəriciyə görə 57-ci yerdə, Gürcüstan isə hətta 100-cü yerdədir. Elmi-texniki tərəqqinin səviyyəsini göstərən hesablamaların haradan götürüldüyünü bilmirem, amma elmin səviyyəsini göstərən statistika var (çap olunmuş məqalələrə görə), bu statistikaya görə  2007-ci ilə üçün Azərbaycan 72-ci yerdədir (Ermənistan-51, Gürcüstan-62).

Bütün elmi qoyaq bir kənara, sadəcə fizika və astronomiya sahəsindəki qonşu dövlətlərin və Azərbaycanın 1996-2007-ci illər arası inkişafına qrafik şəkildə baxaq. Şərhə ehtiyac yoxdur.

1900-cu ildə riyaziyyatçıların ilk beynəlxaql konqreslərindən birində Hilbert 23 həllini tapmamış məsələni ortaya qoydu.  O vaxtdan bu 23 məsələni Hilbert problemləri adlandırırlar.

Hilbertin çıxışının orijinalı və rus dilinə tərcüməsi (tam deyil).  Həmçinin Bolibruxun kitabcasına da baxmaq olar.

Bir əsrdən çox keçməsinə baxmayaraq Hilbert problemlərinin heç də hamısı həllini tapmayıb (bax: burada və burada).

İlk baxışda bütün bu məsələlər sırf riyazi xarakter daşığı görünsə də, məsələlərin həlli fizika ya da böyük tövhələr verib və verə bilər. Məsələn, bir zamanlar membranlarda faza keçidinin nəzəri izahını vermək üçün sistemin entropiyasını hesablayıb ən sıx yığma üçün entropiyanın minimal olduğunu göstərməli idim, bu isə birbaşa Hilbertin 18-ci problemi ilə əlaqədardır.

Maraqlıdır ki, əksər problemlər çox bəsit şəkildə formulə olunduğu  və riyaziyyatçı belə olmayanlara anlaşıldığı halda, ya çox ağır həll olunur, ya da hələ də həllini tapmayıb.  Hilbertin 16-ci problemi də belələrindəndir.

Tutaq ki, f – iki dəyişənli (x və y) n -dərəcəli çoxhədlidir, həqiqi əmsalları ilə.  Hilbert problemi evklid müstəvisində

f(x,y)=0

tənliyi ilə verilmiş cəbri əyrinin hansı topoloji quruluşa malik olduğunu araşdırmaqdan ibarətdir. Məsələn, n=1 olarsa, bu təblik düz xətti verir. n=2 olarsa, cavab çevrə, hiperbola və ya paraboladır.

16-ci problem həllini tapmasa da, bu yolda çoxlu işlər görülüb. Görülmüş işləri isə növbəti yazılarda fiziki məsələlərin üzərində nəzərdən keçirəcəm.

13 iyuldan 30 avqusta kimi Nesin Matematik köyündə Riyaziyyatdan yay məktəbi keçiriləcək. Məktəbin çox maraqlı proqramı var: bəsit riyaziyyatdan tutmuş hiperbolik çoxobrazlılıqlara kimi.

Dərslərin adları ümidvericidir: Morsa kuramı, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Topics in number theory və s.  Aleksand Borovikin maraqlı dersi gözlənilir: Elementary Mathematics from a higher point of view. Sonuncunun blogunda Nesin köyündən fotolara da baxmaq olar.

Yay məktəbi haqqında ətraflı burada.

Bu yaxınlarda PRL‘də çapdan çıxmış ac-Driven Atomic Quantum Motor yazısından sonra əksər fizika dərgiləri durmadan “ən kiçik elektromotor”dan yazırlar.

İlk elektromotor iki əsr bundan qabaq peyda olub və son illərə qədər alimlər daha kiçik elektromotor almağa çalışırlar.

Bu yaxınlarda isə nəzəri fiziklərdən ibarət qrup (A. V. Ponomarev, S. Denisov, P. Hanggi) həlqəvi optik qəfəsdə yerləşən iki fərqli ultrasoyuq atomdan ibarət klassik fırlanma elektromotorunun tamamilə kvant-mexaniki variantını təklif ediblər. Birinci atom tok daşıdığı halda, ikinci atom starter rolunu oynayır.

İndi növbə təcrübəçilərindir.